Chú ý rằng nếu c > 0 thì a + b 2 + c và a + b 2 + c  đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng:

Với mọi giá trị của x khác ± 1, biểu thức:

x + 2 x - 1 x 3 2 x + 2 + 1 - 8 x + 7 2 x 2 - 2  luôn luôn có giá trị dương.

Chú ý rằng nếu c > 0 thì  a + b 2 + c  và  a + b 2 + c  đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng:

Với mọi giá trị của x khác 0 và khác – 3, biểu thức:

1 - x 2 x . x 2 x + 3 - 1 + 3 x 2 - 14 x + 3 x 2 + 3 x  luôn luôn có giá trị âm.

Chú ý rằng vì x + a 2 ≥ 0 với mọi giá trị của x và x + a 2 = 0 khi x = -a nên x + a 2 + b ≥ 0 với mọi giá trị của x và  x + a 2 + b = b  khi x = -a .Áp dụng điều này giải các bài tập sau:

Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức  x 2 x - 2 . x 2 + 4 x - 4 + 3 có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.

Chú ý rằng vì  x + a 2 ≥ 0  với mọi giá trị của x và  x + a 2 = 0 khi x = -a nên  x + a 2 + b ≥ 0  với mọi giá trị của x và  x + a 2 + b = b  khi x = -a .Áp dụng điều này giải các bài tập sau:

Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức: x + 2 2 x . 1 - x 2 x + 2 - x 2 + 6 x + 4 x có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.

Chú ý rằng vì \(\left(x+a\right)^2\ge0\) với mọi giá trị của x và \(\left(x+a\right)^2=0\) khi \(x=-a\) nên \(\left(x+a\right)^2+b\ge b\) với mọi giá trị của x và \(\left(x+a\right)^2+b=b\) khi \(x=-a\). Do đó giá trị nhỏ nhất của \(\left(x+a\right)^2+b\) bằng b khi \(x=-a\).

Áp dụng điều này giải các bài tập sau :

a) Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức :

               \(\dfrac{x^2}{x-2}\left(\dfrac{x^2+4}{x}-4\right)+3\) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy ?

b) Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức:

               \(\dfrac{\left(x+2\right)^2}{x}\left(1-\dfrac{x^2}{x+2}\right)-\dfrac{x^2+6x+4}{x}\) có giá trị lớn nhất. Tìm giá lớn nhất ấy ?